Problemlösning 6:1

P1 Det är fest och alla på festen vill skaka hand med varandra. 
Hur många handskakningar blir det sammanlagt om det är

a 4 pers

Eftersom det är fyra personer måste en person skaka hand med tre andra. Man ska alltid ta minus 1.

4-1=3

Eftersom två personer skakar hand med varandra måste man dividera med 2.

4•3/2=6

Svar: 6 handskakningar blir det.

b 8 pers

8-1=7

8•7/2=28

Svar: 28 handskakningar blir det.

P2   I en utslagstävling i tennis går endast segraren i en match vidare. 

Om t.ex. A, B, C och D är de spelare som tävlar, möts A–B i första matchen och C–D i andra matchen. Vinnarna i dessa två matcher möts i en tredje och sista match. Här avgörs vem som är slutlig segrare.

a Gör en tabell och fyll i de värden du kommer fram till.

Antal spelare	2	3	4	5	6	7	...
Antal matcher	1	2	...

b Hur många matcher måste spelas i en tävling med 20 spelare.

20 spelare

2 möter varandra. Något lag får stå över ibland.

20/2=10

10 matcher. 10 lag kvar

10/2=5

5 matcher. 5 lag kvar

1 lag får stå över

5-1= 4

4/2=2

2+1=3

2 matcher. 3 lag kvar.

1 lag står över

2/2=1

1 match. 2 lag kvar

2/2=1

1 match. 1 segrare

10+5+2+1+1=19

Svar: 19 matcher spelades.

c Svar: n-1 matcher spelas om n är antalet spelare. Det spelas alltid en match mindre än vad det finns lag.

d  Robin säger: ”I en utslagstävling med 40 spelare kommer 39 att

 vara förlorare. Dessa spelar då 39 matcher.” Har Robin rätt?

40 spelare=n

(n-1)

40-1=39

40/2=20

20/2=10

10/2=5

(5-1)+1

4/2=2

2+1=3

(3-1)+1

2/2=1

1+1=2

2/2=1

20+10+5+2+1+1=39

Svar: Robin har rätt.

P3  En skola ska ha en turnering i basket. Det är åtta lag som ställer upp. Alla ska möta alla en gång. 

Hur många matcher kommer att spelas?

8 lag. Alla möter alla en gång. 7 matcher var.

(n-1)

8-1=7

8•7/2=28

Svar: 28 matcher spelas.

P4  I Basketligan i Sverige finns tio lag. Alla ska möta alla två gånger (hemma- och bortamatch). 

Hur många matcher spelas totalt i Basketligan?

10 lag i ligan, 2 matcher mot varje lag

Eftersom lagen möter varandra 2 gånger behöver man inte dividera med 2.

(n-1)

10•(10-1)=10•9=90

Svar: 90 matcher spelas.

P5  I fotboll möter också alla lag i serien varandra två gånger. Om antal lag i en serie är n, kan totala antalet matcher beskrivas med uttrycket: n · (n – 1). 

Hur många matcher spelas totalt i 

a Allsvenskan= 16 lag

(n-1)

16•(16-1)=16•15=240

240 matcher

Svar: 240 matcher spelas i allsvenskan.

b Spanska ligan=20 lag

(n-1)

20•(20-1)=20•19=380

380 matcher

Svar: I spanska ligan spelas 380 matcher.

P6  De fyra fälten i flaggan ska ha färgerna 

gul, orange, röd respektive grön. På hur många sätt kan flaggan färgas?

4 fält, 4 färger, grön, röd, orange och gul.

I det första fältet kan man välja vilken som helst av de 4 färgerna. 

1färg

4-1=3

3 färger kvar.

I nästa fältet kan man välja mellan 3 färger

1färg

3-1=2

2 färger kvar.

I nästa kan man välja mellan 2 färger

1färg

2-1=1

1 färg kvar

Nu finns det bara en färg kvar till sista fältet

1 färg

4•3•2•1=24

24 sätt

Svar: 24 sätt kan flaggan målas i.