Problemlösning 6:2

P1  Bokstäverna A, B och C 
kan skrivas i olika ordning, t.ex. ABC, ACB och CBA.

a) Visa att A, B och C kan ordnas på sex olika sätt.
ABC  BCA  CAB  ACB  BAC  CBA

b På hur många sätt kan A, B, C och D ordnas

Det finns ett mönster för att ta reda på hur många sätt A B C och D kan ordnas. A B C och D är fyra olika bokstäver. Då tar man fyra och multiplicerar det med hur många sätt man kunde ordna bokstäverna när det fanns bara tre bokstäver. Detta sätt gäller alltid.

4•6=24

Svar: 24 sätt går det att ordna A B C och D.

c Gör en tabell och fyll i de värden du kommer fram till.

Antal bokstäver 1     2 3      4 5 6 ...

Antal sätt          1     2 6     24    120  720    

d Om antalet bokstäver är n så kan antalet sätt visas med ett uttryck. Vilket av dessa är det rätta?

 2n

  6n

  n(n – 1)

  1 · 2 · 3 · 4 · … · n

  n(n + 1)

Svar: Det rätta uttrycket är 1•2•3•4•...•n

e På hur många olika sätt kan sju personer stå i en kö?

7 personer

6 personer=720 sätt

720•7=5040

Svar: Det finns 5040 sätt för 7 personer att stå i en kö.

P3  En rektangel har omkretsen 42 cm. 
Längden får man om man multiplicerar 
bredden med 3 och adderar med 5 cm. Vilken area har rektangeln?
2(3x+5+x)=42
Dividera på båda sidorna med 2
2/2(3x+5+x)=42/2
4x+5=21
Subtrahera på båda sidorna med 5
4x+5-5=21-5
4x=16
Dividera på båda sidorna med 4

4x/4=16/4
x=4cm
4cm=bredden
För att få fram längden måste man multiplicera bredden med 3 och addera med 5
4•3+5=17
17cm= längden

Rektangelns area i cm2: 17•4=68

Svar: 68cm2 är rektangelns area.

P4  Summan av tre på varandra

följande tal är 300. Vilka är talen?
Tre tal ska tillsammans bli 300.
x-1+x +x+1=300
3x=300
x=100
100-1=99
100
100+1=101

99+100+101=300

Svar: 99+ 100 + 101 blir tillsammans 300.

P5  Summan av tre på varandra följande udda tal är 87. Vilka är talen?

Man kan göra så här. Man tar reda på vad 87 dividerat med tre är. Sen tar man det talet plus det udda talet som kommer efter  och det udda talet som kommer före.
x-2+x+x+2=87

87/3=29=x
29-2=27
29+2=31

27+29+31=87

Svar: 27+ 29+ 31 blir tillsammans 87.

P6 Summan av fyra på varandra följande udda tal är 160. Vilka är talen?

Först dividera 160 med 4.

160/4=40

Eftersom 40 är ett jämnt tal måste man istället ta de två närmsta udda talen som kommer före och de två udda talen som kommer efter. Då borde talet bli 160.
40-3=37
40-1=39
40+1=41
40+3=43

37+39+41+43=160

Svar: 37+39+41+43 blir tillsammans 160.

P7 Hur många kulor har Alva?

  Ledtråd 1:  Bella har tio kulor fler än Alva.

  Ledtråd 2:  Cesar har tre gånger så många kulor som Alva.

  Ledtråd 3:  Cesar har två gånger så många kulor som Bella.

  Ledtråd 4:  Alva, Bella och Cesar har tillsammans 110 kulor.

a Redovisa en lösning för hur du löser uppgiften med hjälp av 
de fyra ledtrådarna.

Alva har a många kulor

Bella har a+10 kulor

a+a+10+3a=110 kulor
5a+10=110 kulor
5a=100
Dividera på båda sidorna med 5
Svar: Alva har 20 kulor.

Eftersom Cesar har både 3a kulor och 2a+20 kulor måste a vara lika med 20 kulor

20•5+10=110

Alva=20 kulor

Svar Alva har 20 kulor.

b Visa hur du också kan lösa uppgiften utan hjälp av ledtråd 4.

  Ledtråd 1:  Bella har tio kulor fler än Alva.

  Ledtråd 2:  Cesar har tre gånger så många kulor som Alva.

  Ledtråd 3:  Cesar har två gånger så många kulor som Bella.

Alva= a kulor

Bella= a+10

Cesar= 3a/ Cesar har också dubbelt så många kulor som Bella 2a+20

Eftersom Cesar har både 3a kulor och 2a+20 kulor måste a vara lika med 20 kulor.
3a=2a+20
3a-2a=20
a=20 kulor

20•5+10=110

Alva=20 kulor

Svar: Ja. Man får samma svar även om man inte använder sig av ledtråd 4.