Matte potenser

Tänk efter 2:1

T1  Förklara varför (–2) är större än (–5).

Svar: För att 0 är större än alla minustal. (-2) är närmre 0 än (-5) så därför är (-2) större än (-5).

T2
a  Förklara varför (–5) – 3 = (–8) och varför 5 – (–3) = 8.

Svar: För att negativ 5 minus 3 blir som 5+3 fast negativt, alltså (-8). 5-(-3) är det minus minus. Minus minus blir plus för att det kan inte vara inte inte, alltså blir det 5+3=8.

b Vilka olika betydelser har minustecknen i 5 – (–3) = 8?

Svar: Minustecknet efter 5 betyder att det är subtraktion. Minustecknet innanför parentesen betyder att 3 är ett negativt tal alltså (-3).

T3
a Vad menar man när man säger: ”plus minus noll”

Svar: Plus minus noll betyder att svaret kan vara mer eller mindre än något.

b Vilken är lösningen till ekvationen x + 6 = 4?

x+6=4
4-6=x
4-6=(-2)=x
(-2) plus 6 blir 4
Svar: x är (-2)

c Det tog lång tid innan man började räkna med negativa tal, trots att man länge använt subtraktioner. Varför?

Svar: För sa man att 0 var det minsta talet som fanns. Man började inte med negativa tal förrän på 1700-talet.

Ma läxa

1
Du ska bilda ett fyrsiffrigt tal av de fyra siffrorna nedan, där du placerar siffrorna i ordning från den högsta till den lägsta. Samma fyra siffror ska du sedan ordna från den lägsta till den högsta så att du får ett nytt fyrsiffrigt tal. Hur stor är skillnaden (differensen) mellan de två fyrsiffriga tal du fått fram?

A 3 726
7632 = största möjliga tal
2367 = minsta möjliga tal
7632 - 2367 = 5265
Svar: Differensen mellan talen är 5265.

B 4 726
7642 = största möjliga tal
2467 = minsta möjliga tal
7642 - 2467 = 5175
Svar: Differensen mellan talen är 5175.

C 8 082
8820 = största möjliga tal
2088= minsta möjliga fyrsiffrigt tal
8820 - 2088 = 6732
Svar: Differensen är 6732

D 8 182
8821 = största möjliga tal
1288 = minsta möjliga tal
8821 - 1288 = 7533
Svar: Differensen är 7533.

E 8 192
9821 = största möjliga tal
1289 = minsta möjliga tal
9821 - 1289 = 8532
Svar : Differensen är 8532

Euklides randvinkelsats

https://youtu.be/uy67-ATfHUo

Problemlösning 6:2

P1  Bokstäverna A, B och C 
kan skrivas i olika ordning, t.ex. ABC, ACB och CBA.

a) Visa att A, B och C kan ordnas på sex olika sätt.
ABC  BCA  CAB  ACB  BAC  CBA

b På hur många sätt kan A, B, C och D ordnas

Det finns ett mönster för att ta reda på hur många sätt A B C och D kan ordnas. A B C och D är fyra olika bokstäver. Då tar man fyra och multiplicerar det med hur många sätt man kunde ordna bokstäverna när det fanns bara tre bokstäver. Detta sätt gäller alltid.

4•6=24

Svar: 24 sätt går det att ordna A B C och D.

c Gör en tabell och fyll i de värden du kommer fram till.

Antal bokstäver 1     2 3      4 5 6 ...

Antal sätt          1     2 6     24    120  720    

d Om antalet bokstäver är n så kan antalet sätt visas med ett uttryck. Vilket av dessa är det rätta?

 2n

  6n

  n(n – 1)

  1 · 2 · 3 · 4 · … · n

  n(n + 1)

Svar: Det rätta uttrycket är 1•2•3•4•...•n

e På hur många olika sätt kan sju personer stå i en kö?

7 personer

6 personer=720 sätt

720•7=5040

Svar: Det finns 5040 sätt för 7 personer att stå i en kö.

P3  En rektangel har omkretsen 42 cm. 
Längden får man om man multiplicerar 
bredden med 3 och adderar med 5 cm. Vilken area har rektangeln?
2(3x+5+x)=42
Dividera på båda sidorna med 2
2/2(3x+5+x)=42/2
4x+5=21
Subtrahera på båda sidorna med 5
4x+5-5=21-5
4x=16
Dividera på båda sidorna med 4

4x/4=16/4
x=4cm
4cm=bredden
För att få fram längden måste man multiplicera bredden med 3 och addera med 5
4•3+5=17
17cm= längden

Rektangelns area i cm2: 17•4=68

Svar: 68cm2 är rektangelns area.

P4  Summan av tre på varandra

följande tal är 300. Vilka är talen?
Tre tal ska tillsammans bli 300.
x-1+x +x+1=300
3x=300
x=100
100-1=99
100
100+1=101

99+100+101=300

Svar: 99+ 100 + 101 blir tillsammans 300.

P5  Summan av tre på varandra följande udda tal är 87. Vilka är talen?

Man kan göra så här. Man tar reda på vad 87 dividerat med tre är. Sen tar man det talet plus det udda talet som kommer efter  och det udda talet som kommer före.
x-2+x+x+2=87

87/3=29=x
29-2=27
29+2=31

27+29+31=87

Svar: 27+ 29+ 31 blir tillsammans 87.

P6 Summan av fyra på varandra följande udda tal är 160. Vilka är talen?

Först dividera 160 med 4.

160/4=40

Eftersom 40 är ett jämnt tal måste man istället ta de två närmsta udda talen som kommer före och de två udda talen som kommer efter. Då borde talet bli 160.
40-3=37
40-1=39
40+1=41
40+3=43

37+39+41+43=160

Svar: 37+39+41+43 blir tillsammans 160.

P7 Hur många kulor har Alva?

  Ledtråd 1:  Bella har tio kulor fler än Alva.

  Ledtråd 2:  Cesar har tre gånger så många kulor som Alva.

  Ledtråd 3:  Cesar har två gånger så många kulor som Bella.

  Ledtråd 4:  Alva, Bella och Cesar har tillsammans 110 kulor.

a Redovisa en lösning för hur du löser uppgiften med hjälp av 
de fyra ledtrådarna.

Alva har a många kulor

Bella har a+10 kulor

a+a+10+3a=110 kulor
5a+10=110 kulor
5a=100
Dividera på båda sidorna med 5
Svar: Alva har 20 kulor.

Eftersom Cesar har både 3a kulor och 2a+20 kulor måste a vara lika med 20 kulor

20•5+10=110

Alva=20 kulor

Svar Alva har 20 kulor.

b Visa hur du också kan lösa uppgiften utan hjälp av ledtråd 4.

  Ledtråd 1:  Bella har tio kulor fler än Alva.

  Ledtråd 2:  Cesar har tre gånger så många kulor som Alva.

  Ledtråd 3:  Cesar har två gånger så många kulor som Bella.

Alva= a kulor

Bella= a+10

Cesar= 3a/ Cesar har också dubbelt så många kulor som Bella 2a+20

Eftersom Cesar har både 3a kulor och 2a+20 kulor måste a vara lika med 20 kulor.
3a=2a+20
3a-2a=20
a=20 kulor

20•5+10=110

Alva=20 kulor

Svar: Ja. Man får samma svar även om man inte använder sig av ledtråd 4.

Tänk efter 6:2

T1. Hur kan du kontrollera om x = 6 är lösning till ekvationen 8 + x = 13?
Genom att göra om x till 6.
8+6=14
Nu har jag kontrollerat om x är lika med 6 till ekvationen 8+x=13. I detta fallet är talet fel. Svaret blir inte 13 om x är 6.

Hur tänker du när du löser ekvationerna
T2 a) x+7=21
Om jag tar bort 7 från vänstra sidan måste jag också ta bort 7 från högra dvs
x+7-7=21-7 och då får jag kvar
x=14
Svar: x är 14.

T2 b) x-8=20
Lägg till 8 till båda sidorna.
x-8+8=20+8
x=28
Svar: x är lika med 28.

T2 c) 6x=18
Dividera på båda sidorna med 6
6x/6=18/6
x=3
Svar: x är lika med 3.

T2 d) x/3=10
Multiplicera på båda sidorna med 3
x/3•3=10•3
x=30
Svar: x lika med 30.

T3 a) 2x+3=15
Subtrahera på båda sidorna med 3
2x+3-3=15-3
2x=12
Dividera på båda sidorna med 2
2x/2=12/2=6
Svar: x är lika med 6.

T3 b) x/4-2=3

Addera på båda sidorna med 2
x/4-2+2=3+2
x/4=5
multiplicera på båda sidorna med 4
x/4•4=5•4
x=20

Svar: x är lika med 20.

T4 Detta är början på ett mönster med 
kulor. Uttrycket 3n + 2 visar hur 
många kulor det sammanlagt 
behövs till n st röda kulor.

a) Arvid har 20 röda kulor i sitt mönster. Hur många har han sammanlagt?

3n+2

20 röda kulor

Om det finns 20 röda kulor måste det finnas tre gånger så många kulor plus 2.

20•3+2=62

Svar: 62 kulor.

b) Ebba har sammanlagt 47 kulor i sitt mönster och påstår att det finns 15 röda kulor i hennes mönster. Visa om Ebba har rätt.

3n+2=47

Subtrahera på båda sidorna med 2

3n+2-2=47-2
3n=45
Dividera på båda sidorna med 3
3n/3=45/3
n=15

15 röda kulor.

Svar: Ebba har rätt.

c) Leo har sammanlagt 101 kulor. Hur många röda kulor finns i hans mönster?

3n+2=101
Subtrahera på båda sidorna med 2
3n+2-2=101-2
3n=99
Dividera på båda sidorna med 3
3n/3=99/3
n=33
33 röda kulor
Svar: Det finns 33 röda kulor i hans mönster.

Problemlösning 6:1

P1 Det är fest och alla på festen vill skaka hand med varandra. 
Hur många handskakningar blir det sammanlagt om det är

a 4 pers

Eftersom det är fyra personer måste en person skaka hand med tre andra. Man ska alltid ta minus 1.

4-1=3

Eftersom två personer skakar hand med varandra måste man dividera med 2.

4•3/2=6

Svar: 6 handskakningar blir det.

b 8 pers

8-1=7

8•7/2=28

Svar: 28 handskakningar blir det.

P2   I en utslagstävling i tennis går endast segraren i en match vidare. 

Om t.ex. A, B, C och D är de spelare som tävlar, möts A–B i första matchen och C–D i andra matchen. Vinnarna i dessa två matcher möts i en tredje och sista match. Här avgörs vem som är slutlig segrare.

a Gör en tabell och fyll i de värden du kommer fram till.

Antal spelare	2	3	4	5	6	7	...
Antal matcher	1	2	...

b Hur många matcher måste spelas i en tävling med 20 spelare.

20 spelare

2 möter varandra. Något lag får stå över ibland.

20/2=10

10 matcher. 10 lag kvar

10/2=5

5 matcher. 5 lag kvar

1 lag får stå över

5-1= 4

4/2=2

2+1=3

2 matcher. 3 lag kvar.

1 lag står över

2/2=1

1 match. 2 lag kvar

2/2=1

1 match. 1 segrare

10+5+2+1+1=19

Svar: 19 matcher spelades.

c Svar: n-1 matcher spelas om n är antalet spelare. Det spelas alltid en match mindre än vad det finns lag.

d  Robin säger: ”I en utslagstävling med 40 spelare kommer 39 att

 vara förlorare. Dessa spelar då 39 matcher.” Har Robin rätt?

40 spelare=n

(n-1)

40-1=39

40/2=20

20/2=10

10/2=5

(5-1)+1

4/2=2

2+1=3

(3-1)+1

2/2=1

1+1=2

2/2=1

20+10+5+2+1+1=39

Svar: Robin har rätt.

P3  En skola ska ha en turnering i basket. Det är åtta lag som ställer upp. Alla ska möta alla en gång. 

Hur många matcher kommer att spelas?

8 lag. Alla möter alla en gång. 7 matcher var.

(n-1)

8-1=7

8•7/2=28

Svar: 28 matcher spelas.

P4  I Basketligan i Sverige finns tio lag. Alla ska möta alla två gånger (hemma- och bortamatch). 

Hur många matcher spelas totalt i Basketligan?

10 lag i ligan, 2 matcher mot varje lag

Eftersom lagen möter varandra 2 gånger behöver man inte dividera med 2.

(n-1)

10•(10-1)=10•9=90

Svar: 90 matcher spelas.

P5  I fotboll möter också alla lag i serien varandra två gånger. Om antal lag i en serie är n, kan totala antalet matcher beskrivas med uttrycket: n · (n – 1). 

Hur många matcher spelas totalt i 

a Allsvenskan= 16 lag

(n-1)

16•(16-1)=16•15=240

240 matcher

Svar: 240 matcher spelas i allsvenskan.

b Spanska ligan=20 lag

(n-1)

20•(20-1)=20•19=380

380 matcher

Svar: I spanska ligan spelas 380 matcher.

P6  De fyra fälten i flaggan ska ha färgerna 

gul, orange, röd respektive grön. På hur många sätt kan flaggan färgas?

4 fält, 4 färger, grön, röd, orange och gul.

I det första fältet kan man välja vilken som helst av de 4 färgerna. 

1färg

4-1=3

3 färger kvar.

I nästa fältet kan man välja mellan 3 färger

1färg

3-1=2

2 färger kvar.

I nästa kan man välja mellan 2 färger

1färg

2-1=1

1 färg kvar

Nu finns det bara en färg kvar till sista fältet

1 färg

4•3•2•1=24

24 sätt

Svar: 24 sätt kan flaggan målas i.

tänk efter 4:2

Tänk efter 4:2

T1. Ebba=3/4, Lucas 3/5

3/4= 75%

3/5= 60%

75%= mer än 60%

Svar: Ebba handlar för mer än Lucas av sin veckopeng.

T2 3/5 av 350 kr

350/5= 70

70•3= 210

Svar: 210kr.

T3a) 1/2+1/3= 2/5

2/5= fel.

Svar: Det är fel svar.

T3 b) 1/2+ 1/3 =?

1/2•3/3= 3/6

1/3•2/2= 2/6

3/6+2/6=5/6

Svar Jag får 5/6.

T4 1/2+1/4

1/2•2/2= 2/4

2/4+1/4= 3/4

1/2= 0,5

1/4= 0,25

0,5+0,25= 0,75

Svar: Svaret kan vara 0,75 och 3/4.

Problemlösning 4:2

P1  Diba går en sträcka som är 200 m lång.
Bredvid går Ebba en sträcka som är 240 m lång

a. Hur långt har Diba kvar att gå när hon gått 4/5 av sin sträcka?

 200m
200/5= 40
40•4=160
200-160=40
 Svar: 40m har Diba kvar av sträckan

b. Ebba har då kvar lika lång bit att gå. Hur stor bråkdel av hela sin sträcka har Ebba gått?

 240-40=200
200m av 240m
200/240=5/6
Svar: 5/6 har Ebba gått.

c. Hur långt har Diba kvar när hon gått 9/10 av sin sträcka?   

Sträckan i m.
200/ 10= 20

20 • 9= 180
200 - 180 = 20
Svar: 20m

d. Lika lång bit har Ebba kvar att gå. Hur stor bråkdel av hela sin sträcka har då Ebba gått?

Sträckan i m.
240-20=220
220/240=11/12

 Svar: 11/12 Har Ebba gått.

P2

a. Sätt in talen 1, 2, 4, 6 och 8 i rutorna så att likheten stämmer.

4/7=16/28

4/7•4/4=16/28

Svar: 4/7 är lika stort tal som 16/28.

b. Sätt in talen 1, 2, 3, 4 och 7 i rutorna så att likheten stämmer.

3/7=21/49

3/7•7/7=21/49

Svar: 3/7 är lika stort tal som 21/49.

P3.  Ett träd är 100 cm högt. Varje år ökar det sin höjd med en femtedel av höjden vid årets början.  Hur högt är trädet efter

a ett år

100/5=20

100+20=120

Svar: Trädet är 120cm efter ett år.

b två år

120/5=24

120+24=144

Svar: Trädet är 144cm högt efter två år.

c Hur många år tar det för trädet att bli dubbelt så högt?

1år=120cm

2år=144cm

144/5=28,8

144+28,8=172,8

3år=172,8

172,8/5=34,56

172,8+34,56=207,36

4år=207,36

Mellan år 3 och 4.

34,56cm per år= 2,88cm per månad

200-172,8=27,2

27,2/2,88=9,4

9,4 månader = cirka 9månader

9/12=0,75 månader

200cm=3,75år

Svar: Trädet är 200cm efter 3,75år.

P4

Bilden visar måtten på en plåtremsa.
Från plåtremsan klipper man bort en kvadratisk bit med sidan 24 cm.
Hur stor bråkdel av hela plåtremsan är den utklippta kvadraten?

Längden=80cm

Längd=24cm

Plåtens höjd är samma för den utklippta och hela plåtremsan. Längden på den lilla plåtbiten är 24cm av 80cm.

24/80

24/80=3/10
Svar: 3/10 av hela plåtremsan är den utklippta kvadraten

Trianglens vinkelsumma

Euklides likbelägna vinklar

Euklides alternatvinklar

Euklides geometri-fallet med vertikalvinklarna